ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

     
     увеличить

Налимов В.В., Голикова Т.И.

Введение

Эта небольшая книга отнюдь не монография и тем более не учебник по планированию эксперимента. Задача книги скромнее – авторы хотят здесь рассказать только о тех логических предпосылках, но которых базируется планирование эксперимента, опуская почти все, что непосредственно связано с практикой его применения. Вопросы практического применения достаточно хорошо изложены в многочисленных книгах, вышедших как в нашей стране, так и за рубежом.

В настоящее время накоплен большой опыт применения планирования эксперимента в самых различных областях деятельности – в научных и научно-технических исследованиях, в практике промышленного эксперимента, осуществляемого непосредственно в заводских цехах, в сельском хозяйстве. В журнальных публикациях, общее число которых достигает нескольких тысяч [1-5], достаточно хорошо освещены вопросы, связанные с применением планирования эксперимента. В то же время общетеоретические основания планирования эксперимента до сих пор остаются недостаточно разъясненными. Пока еще никому не удалось написать хорошего руководства ни в нашей стране, ни за рубежом. В популярных руководствах, предназначенных для широкого круга читателей, рассматривается, как применять планы в тех или иных конкретных ситуациях, как обрабатывать результаты таких экспериментов и как их интерпретировать. В книгах теоретической направленности рассматриваются специальные математические проблемы, возникающие при построении планов, отвечающих тем или иным критериям оптимальности. При этом сама идеология планирования эксперимента оказывается опущенной в книгах как того, так и другого типа.

Это отставание теоретического осмысливания метода от его практического применения объясняется особенностями его исторического развития. За пятьдесят лет существования идеология планирования эксперимента претерпела существенную эволюцию. Развитие основных идей шло, как сначала казалось, по нескольким, почти не пересекающимся направлениям. В каждом из них формулировались свои задачи, излагаемые этим задачам терминологии. Впоследствии, однако, обнаружилась удивительная общность во многих, казалось бы, существенно различных по своей постановке задач. Появилась возможность осмысливания всего многообразия методов в рамках неких более или менее единых представлений. Развитие теоретических представлений позволило не только построить новые планы эксперимента, но и сделать нечто гораздо большее – дало возможность четко сформулировать логику понимания того, что есть хороший эксперимент.

Внешне планирование эксперимента выглядит как математическая дисциплина – его высказывания формулируются на языке математики. Однако его логическая структура отлична от построений чистой математики. Характерной особенностью математики является четкий аксиоматически-дедуктивный метод построения суждений. Но система постулатов в математике – это отнюдь не пестрая мозаика отдельных исходных высказываний. Особенностью чистой математики является то, что система постулатов образует своеобразные концепции – математические структуры, богатые теми логическими следствиями, которые из них могут быть выведены. Согласно взглядам Бурбаки [6] наличие таких структур, в которых имплицировано все содержание математики, и есть та основная черта, которая отличает ее от других областей знаний. В планировании эксперимента, как и в других разделах прикладной математики, исчезают из поля зрения целостные математические структуры. Они заменились в одном случае пестрой мозаикой критериев – для этой мозаичной структуры потеряла смысл сама постановка вопроса о непротиворечивости, играющая столь большую роль в структурах чистой математики, в других случаях на математическом языке стали записываться некоторые высказывания, не на очень ясных интуитивных соображениях, и тогда вообще исчезла цепочка силлогизмов. Которая является одним из обязательных внешних признаков традиционных математических построений. Подробнее о сопоставлении чистой математики с прикладной можно прочесть в работа {7].

Как известно, аксиомой называется предложение, принимаемое без доказательств и рассматриваемое как исходное при построении той или иной математической теории. В планировании эксперимента роль аксиом играют критерии оптимальности эксперимента. Они принимаются без доказательств – их правомерность основывается на нашем интуитивном представлении о том, что есть хороший эксперимент. Будучи сформулированными на математическом языке, критерии оптимальности становятся теми исходными высказываниями, на которых строится вся дальнейшая теория.

Критерии оптимальности в планировании эксперимента легко разбиваются на две группы. Одна из них – группа статических критериев. Здесь речь идет о высказываниях, формулирующих требования, которым должно удовлетворять некоторое, задаваемое планом эксперимента расположение экстремальных точек в пространстве факторов – независимых переменных подлежащих варьированию. Роль теорем[1] здесь играют высказывания о свойствах планов. Их истинность, т.е. соответствие их заранее высказанным утверждениям об оптимальности, проверяется путем доказательств. Вся система суждений здесь носит чисто конструктивный характер – необходимо найти способ построения плана, оптимального в том или ином смысле. Конструктивной деятельности здесь обычно предшествует необходимость доказательства ряда предварительных теорем. Критерии оптимальности планов образуют в общем случае мозаику несовместимых высказываний, хотя некоторые обобщения здесь возможны; можно, соблюдая некоторые условия, выделить более сильные, иерархически выше стоящие критерии.

В целом, однако, все наше представление об оптимальности планов не может быть имплицировано в единой системе взаимно непротиворечивых высказываний. И здесь создается новая, не свойственная традиционной математике ситуация – возникает необходимость в сопоставлении друг с другом планов, порожденных разными критериями. Численными методами можно определить, в какой степени план, порожденный одним критерием, оценивается с позиций других критериев. В практической работе исследователь-экспериментатор отнюдь не всегда может отдать четкое предпочтение одному из возможных критериев оптимальности. Часто разумно остановиться на компромиссном решении, а для этого необходимо иметь сравнительные числовые оценки параметров планов. В лаборатории статистических методов МГУ закончена проводившаяся в течение нескольких лет работа по построению планов и числовой оценки их параметров. Завершение этой работы и дало возможность приступить к подготовке этой книги.

Ко второй группе критериев оптимальности относят динамические критерии[2]. Здесь речь идет о проблеме выбора оптимальной стратегии в последовательно проводимой серии опытов. Нужны критерии, скажем, для того, чтобы решить,

как надо действовать в заводских условиях, когда варьируя управляемые переменные непосредственно в цехе, мы хотим непрерывно следить за дрейфом экстремума технологического процесса;
или другой пример: как надо действовать, когда мы хотим создать программу исследования для изучения биологической активности очень большого числа препаратов в условиях, когда наложены серьезные ограничения на возможное число опытов.

Во всех случаях речь идет об оптимальности всей последовательности действий, образующей стратегию эксперимента, а не об оптимальности отдельной серии опытов, как это было в первой группе критериев. При формулировке критериев оптимальности здесь на математическом языке записываются те высказывания, которые нам представляются правомерными на уровне наших интуитивных представлений. В этом случае дело с отчетливостью логических построений обстоит еще хуже, чем в предыдущем. При обсуждении проблемы выбора оптимальной стратегии часто даже не удается провести отчетливого разграничения между тем, что здесь является аксиомами и что логическими следствиями из них – теоремами. Записанное на математическом языке высказывание об оптимальности той или иной стратегии можно, конечно, рассматривать как аксиому. Но остается не ясным, что считать здесь теоремами. Теряется глубина логических построений. Все сводится к тому, что строится алгоритм, соответствующий исходному высказыванию, удобный для конкретного практического применения. Множество основополагающих утверждений о возможных стратегиях поведения опять-таки образуют мозаику высказываний, а отнюдь не математическую структуру Бурбаки.

Здесь снова возникает проблема сопоставления эффективности стратегий, порожденных разными высказываниями. Но в отличие от предыдущего случая эта задача оказывается неразрешимой даже на уровне чистого сопоставления. В предыдущем случае задача численного сопоставления различных планов хотя бы частично решалась, поскольку она сводилась к сопоставлению отдельных параметров, характеризующих структуру матрицы планирования эксперимента или как-то зависящих от структуры матрицы. В случае с решением задач, направленных на поиск оптимальных стратегий, нельзя выделить параметры для численного сопоставления. Единственное, что можно здесь сделать, – это попытаться построить некую метатеорию, сформулировав аксиомы сравнения стратегий. Но таких аксиом можно придумать достаточно много, и они опять-таки будут образовывать только мозаику высказываний. Можно пойти дальше и построить метатеорию для сравнения аксиом сравнения, но вряд ли это имеет смысл.

Предложенная здесь бинарная система классификации, конечно, не охватывает всего многообразия задач. В некоторых случаях, например, при постановке так называемых отсеивающих экспериментов, мы сталкиваемся с задачами смешанного типа, когда
с одной стороны, нужно оценить параметры модели – это статическая составляющая задачи,
а с другой – необходимо выполнить некоторые процедуры движения, скажем, уменьшить размерность пространства независимых переменных.

Естественно, в задачах смешанного типа содержатся трудности, свойственные задачам обоих типов.

Изложенное показывает те принципиальные трудности, с которыми приходится сталкиваться при попытках построения теории оптимального эксперимента. Придирчивый читатель может даже сказать, что здесь. Собственно, и нет теории в достаточно полном смысле этого слова. И действительно, здесь невозможно построение теории как некоего исчисления[3], т.е. все содержание теории нельзя получить как логический вывод из некоторых начальных утверждений, образующих единую, внутренне непротиворечивую структуру. Единственно, что можно сделать, – это провести некоторую атаку на проблему, рассмотрев ее в различных, мысленно возможных ракурсах. Такая атака требует существенной формализации наших представлений об эксперименте, хотя мы отдаем себе отчет в том, что все наши представления об эксперименте формализовать нельзя, поскольку, наверно, любой эксперимент связан в какой-то степени с эвристической деятельностью. Формализуемая часть наших представлений об эксперименте естественно осмысливать на языке математики, которая служит здесь для усиления логики наших суждений об эксперименте. Когда мы говорим о математической теории эксперимента, то это не означает, что здесь строится новая математическая дисциплина. Речь идет о создании формально-логического подхода к изучению проблемы эксперимента, формулируемого на языке математики. Нечто аналогичное имеет место, скажем, в квантовой механике, которая, несмотря на всю ее насыщенность математикой, не есть математическая дисциплина. Вслед за работами Фреге, Рессела и Уайтхеда мы можем рассматривать математику как часть формальной логики.

Иногда мы встречаемся с утверждениями о том, что планирование эксперимента или хотя бы некоторые его разделы – частный случай хорошо разработанных разделов математики. Так, в БСЭ читаем: «Под влиянием приложений в химии и технике развилось планирование эксперимента по поиску оптимальных условий протекания того или иного процесса. По существу эти методы являются модификацией обычных численных методов поиска экстремума с учетом случайных ошибок измерений».[4] С этим высказыванием нельзя согласиться. Оно звучит так же странно, как, скажем, звучало бы утверждение о том, что квантовая механика есть частный случай того или иного раздела математики. Несмотря на насыщенность математикой, квантовая механика имеет свое идейное содержание, связанное с существом физической проблемы. Точно так же планирование эксперимента имеет свое собственное идейное содержание, связанное с особенностями физического представления об эксперименте: планирование экстремальных экспериментов – это не просто поиск экстремума, а нечто гораздо большее – это поиск хорошего эксперимента для решения экстремальной задачи.

Предлагаемая вниманию читателей книга написана достаточно популярно. Авторам представляется, что формально-логический анализ наших представлений об эксперименте может быть интересен не только специалистам по математической статистике, но и широкому кругу читателей, которые связаны в своей деятельности с экспериментом. Первая глава книги носит вводный характер. В ней приводятся примеры хорошо и плохо поставленных экспериментов и говорится о том, как можно формализировать наши представления об эксперименте для того, чтобы построить теорию, позволяющую ставить хорошие эксперименты. Все дальнейшие главы посвящены детальному описанию на языке формальных представлений тех требований, которым должен отвечать хороший эксперимент.

Во втором издании объем материала увеличен примерно на 40%. Введены две совсем новые главы – одна из них посвящена проблемам построения моделей, нелинейных по параметрам, другая – роли математических моделей в научных исследованиях, расширены главы III и IV.

Эта небольшая книга, конечно, есть не более чем краткий путеводитель по идеям планирования эксперимента.

Назад в раздел